Qu'est-ce que theoreme des gendarmes ?

Le théorème des gendarmes est une méthode pour déterminer la convergence d'une suite ou d'une fonction. Il s'applique principalement à des suites ou fonctions définies sur un intervalle borné et fermé de R.

Le principe du théorème des gendarmes est basé sur la comparaison entre une suite ou fonction à déterminer et deux autres suites ou fonctions convergentes, dont les limites sont égales.

Ainsi, si l'on dispose de trois suites (ou fonctions) (u_n), (v_n) et (w_n) telles que pour tout entier naturel n, on ait :

• u_n <= v_n <= w_n
• lim u_n = lim w_n = L

Alors, si la suite (v_n) converge également, sa limite est également L.

Ce théorème est très utile pour prouver la convergence ou la divergence de certaines suites ou fonctions qui ne sont pas directement comparables ou pour lesquelles le critère de comparaison classique ne fonctionne pas. Il permet également de montrer que certaines suites ou fonctions sont bornées ou non bornées.

Le nom de "théorème des gendarmes" provient de l'analogie avec une situation où un groupe de gendarmes encadre un individu pour le conduire quelque part : si l'individu suit le même chemin que les gendarmes et reste entre eux, alors il arrive au même endroit qu'eux. De la même manière, si une suite ou une fonction se situe entre deux autres qui convergent vers la même limite, alors elle converge également vers cette limite.